3.486 \(\int \frac{\tan ^m(c+d x) (A+B \tan (c+d x))}{(a+b \tan (c+d x))^4} \, dx\)

Optimal. Leaf size=659 \[ -\frac{b \left (3 a^4 A b^3 \left (m^3-7 m^2+10 m+8\right )+3 a^2 A b^5 m \left (m^2-5 m+2\right )-a^6 A b \left (-m^3+9 m^2-26 m+24\right )-3 a^5 b^2 B \left (m^3-4 m^2-m+12\right )+3 a^3 b^4 B \left (-m^3+2 m^2+5 m+2\right )+a^7 B \left (-m^3+6 m^2-11 m+6\right )+a b^6 B m \left (1-m^2\right )+A b^7 m \left (m^2-3 m+2\right )\right ) \tan ^{m+1}(c+d x) \text{Hypergeometric2F1}\left (1,m+1,m+2,-\frac{b \tan (c+d x)}{a}\right )}{6 a^4 d (m+1) \left (a^2+b^2\right )^4}+\frac{\left (-6 a^2 A b^2+a^4 A+4 a^3 b B-4 a b^3 B+A b^4\right ) \tan ^{m+1}(c+d x) \text{Hypergeometric2F1}\left (1,\frac{m+1}{2},\frac{m+3}{2},-\tan ^2(c+d x)\right )}{d (m+1) \left (a^2+b^2\right )^4}-\frac{\left (4 a^3 A b+6 a^2 b^2 B+a^4 (-B)-4 a A b^3-b^4 B\right ) \tan ^{m+2}(c+d x) \text{Hypergeometric2F1}\left (1,\frac{m+2}{2},\frac{m+4}{2},-\tan ^2(c+d x)\right )}{d (m+2) \left (a^2+b^2\right )^4}+\frac{b \left (2 a^2 A b^3 \left (m^2-6 m+2\right )+a^4 A b \left (m^2-9 m+26\right )+2 a^3 b^2 B \left (-m^2+3 m+7\right )+a^5 (-B) \left (m^2-6 m+11\right )+a b^4 B \left (1-m^2\right )+A b^5 \left (m^2-3 m+2\right )\right ) \tan ^{m+1}(c+d x)}{6 a^3 d \left (a^2+b^2\right )^3 (a+b \tan (c+d x))}+\frac{b \left (a^2 A b (8-m)+a^3 (-B) (5-m)+a b^2 B (m+1)+A b^3 (2-m)\right ) \tan ^{m+1}(c+d x)}{6 a^2 d \left (a^2+b^2\right )^2 (a+b \tan (c+d x))^2}+\frac{b (A b-a B) \tan ^{m+1}(c+d x)}{3 a d \left (a^2+b^2\right ) (a+b \tan (c+d x))^3} \]

[Out]

((a^4*A - 6*a^2*A*b^2 + A*b^4 + 4*a^3*b*B - 4*a*b^3*B)*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -Tan[c + d*x
]^2]*Tan[c + d*x]^(1 + m))/((a^2 + b^2)^4*d*(1 + m)) - (b*(a*b^6*B*m*(1 - m^2) + 3*a^2*A*b^5*m*(2 - 5*m + m^2)
+ A*b^7*m*(2 - 3*m + m^2) + 3*a^3*b^4*B*(2 + 5*m + 2*m^2 - m^3) + a^7*B*(6 - 11*m + 6*m^2 - m^3) - a^6*A*b*(2
4 - 26*m + 9*m^2 - m^3) + 3*a^4*A*b^3*(8 + 10*m - 7*m^2 + m^3) - 3*a^5*b^2*B*(12 - m - 4*m^2 + m^3))*Hypergeom
etric2F1[1, 1 + m, 2 + m, -((b*Tan[c + d*x])/a)]*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(6*a^4*(a^2 + b^2)^4*d*(1 + m)) - ((4*a
^3*A*b - 4*a*A*b^3 - a^4*B + 6*a^2*b^2*B - b^4*B)*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, -Tan[c + d*x]^2]*
Tan[c + d*x]^(2 + m))/((a^2 + b^2)^4*d*(2 + m)) + (b*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(3*a*(a^2 + b^2)*d*(a +
b*Tan[c + d*x])^3) + (b*(A*b^3*(2 - m) - a^3*B*(5 - m) + a^2*A*b*(8 - m) + a*b^2*B*(1 + m))*Tan[c + d*x]^(1 +
m))/(6*a^2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (b*(a*b^4*B*(1 - m^2) + 2*a^3*b^2*B*(7 + 3*m - m^2) + a^
4*A*b*(26 - 9*m + m^2) + 2*a^2*A*b^3*(2 - 6*m + m^2) - a^5*B*(11 - 6*m + m^2) + A*b^5*(2 - 3*m + m^2))*Tan[c +
d*x]^(1 + m))/(6*a^3*(a^2 + b^2)^3*d*(a + b*Tan[c + d*x]))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 2.44736, antiderivative size = 659, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 11, number of rules used = 8, integrand size = 31, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.258, Rules used = {3609, 3649, 3653, 3538, 3476, 364, 3634, 64} \[ -\frac{b \left (3 a^4 A b^3 \left (m^3-7 m^2+10 m+8\right )+3 a^2 A b^5 m \left (m^2-5 m+2\right )-a^6 A b \left (-m^3+9 m^2-26 m+24\right )-3 a^5 b^2 B \left (m^3-4 m^2-m+12\right )+3 a^3 b^4 B \left (-m^3+2 m^2+5 m+2\right )+a^7 B \left (-m^3+6 m^2-11 m+6\right )+a b^6 B m \left (1-m^2\right )+A b^7 m \left (m^2-3 m+2\right )\right ) \tan ^{m+1}(c+d x) \, _2F_1\left (1,m+1;m+2;-\frac{b \tan (c+d x)}{a}\right )}{6 a^4 d (m+1) \left (a^2+b^2\right )^4}+\frac{\left (-6 a^2 A b^2+a^4 A+4 a^3 b B-4 a b^3 B+A b^4\right ) \tan ^{m+1}(c+d x) \, _2F_1\left (1,\frac{m+1}{2};\frac{m+3}{2};-\tan ^2(c+d x)\right )}{d (m+1) \left (a^2+b^2\right )^4}-\frac{\left (4 a^3 A b+6 a^2 b^2 B+a^4 (-B)-4 a A b^3-b^4 B\right ) \tan ^{m+2}(c+d x) \, _2F_1\left (1,\frac{m+2}{2};\frac{m+4}{2};-\tan ^2(c+d x)\right )}{d (m+2) \left (a^2+b^2\right )^4}+\frac{b \left (2 a^2 A b^3 \left (m^2-6 m+2\right )+a^4 A b \left (m^2-9 m+26\right )+2 a^3 b^2 B \left (-m^2+3 m+7\right )+a^5 (-B) \left (m^2-6 m+11\right )+a b^4 B \left (1-m^2\right )+A b^5 \left (m^2-3 m+2\right )\right ) \tan ^{m+1}(c+d x)}{6 a^3 d \left (a^2+b^2\right )^3 (a+b \tan (c+d x))}+\frac{b \left (a^2 A b (8-m)+a^3 (-B) (5-m)+a b^2 B (m+1)+A b^3 (2-m)\right ) \tan ^{m+1}(c+d x)}{6 a^2 d \left (a^2+b^2\right )^2 (a+b \tan (c+d x))^2}+\frac{b (A b-a B) \tan ^{m+1}(c+d x)}{3 a d \left (a^2+b^2\right ) (a+b \tan (c+d x))^3} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(Tan[c + d*x]^m*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^4,x]

[Out]

((a^4*A - 6*a^2*A*b^2 + A*b^4 + 4*a^3*b*B - 4*a*b^3*B)*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/2, (3 + m)/2, -Tan[c + d*x
]^2]*Tan[c + d*x]^(1 + m))/((a^2 + b^2)^4*d*(1 + m)) - (b*(a*b^6*B*m*(1 - m^2) + 3*a^2*A*b^5*m*(2 - 5*m + m^2)
+ A*b^7*m*(2 - 3*m + m^2) + 3*a^3*b^4*B*(2 + 5*m + 2*m^2 - m^3) + a^7*B*(6 - 11*m + 6*m^2 - m^3) - a^6*A*b*(2
4 - 26*m + 9*m^2 - m^3) + 3*a^4*A*b^3*(8 + 10*m - 7*m^2 + m^3) - 3*a^5*b^2*B*(12 - m - 4*m^2 + m^3))*Hypergeom
etric2F1[1, 1 + m, 2 + m, -((b*Tan[c + d*x])/a)]*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(6*a^4*(a^2 + b^2)^4*d*(1 + m)) - ((4*a
^3*A*b - 4*a*A*b^3 - a^4*B + 6*a^2*b^2*B - b^4*B)*Hypergeometric2F1[1, (2 + m)/2, (4 + m)/2, -Tan[c + d*x]^2]*
Tan[c + d*x]^(2 + m))/((a^2 + b^2)^4*d*(2 + m)) + (b*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(3*a*(a^2 + b^2)*d*(a +
b*Tan[c + d*x])^3) + (b*(A*b^3*(2 - m) - a^3*B*(5 - m) + a^2*A*b*(8 - m) + a*b^2*B*(1 + m))*Tan[c + d*x]^(1 +
m))/(6*a^2*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (b*(a*b^4*B*(1 - m^2) + 2*a^3*b^2*B*(7 + 3*m - m^2) + a^
4*A*b*(26 - 9*m + m^2) + 2*a^2*A*b^3*(2 - 6*m + m^2) - a^5*B*(11 - 6*m + m^2) + A*b^5*(2 - 3*m + m^2))*Tan[c +
d*x]^(1 + m))/(6*a^3*(a^2 + b^2)^3*d*(a + b*Tan[c + d*x]))

Rule 3609

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e
_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(b*(A*b - a*B)*(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^(n
+ 1))/(f*(m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 + b^2)), x] + Dist[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 + b^2)), Int[(a + b*Tan[e +
f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^n*Simp[b*B*(b*c*(m + 1) + a*d*(n + 1)) + A*(a*(b*c - a*d)*(m + 1) - b^2*d*(
m + n + 2)) - (A*b - a*B)*(b*c - a*d)*(m + 1)*Tan[e + f*x] - b*d*(A*b - a*B)*(m + n + 2)*Tan[e + f*x]^2, x], x
], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0]
&& LtQ[m, -1] && (IntegerQ[m] || IntegersQ[2*m, 2*n]) &&  !(ILtQ[n, -1] && ( !IntegerQ[m] || (EqQ[c, 0] && NeQ
[a, 0])))

Rule 3649

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*t
an[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(a + b*T
an[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1))/(f*(m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 + b^2)), x] + Dist[1/((m + 1)*(
b*c - a*d)*(a^2 + b^2)), Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^n*Simp[A*(a*(b*c - a*d)*(m + 1)
- b^2*d*(m + n + 2)) + (b*B - a*C)*(b*c*(m + 1) + a*d*(n + 1)) - (m + 1)*(b*c - a*d)*(A*b - a*B - b*C)*Tan[e
+ f*x] - d*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(m + n + 2)*Tan[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C,
n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && LtQ[m, -1] &&  !(ILtQ[n, -1] && ( !I
ntegerQ[m] || (EqQ[c, 0] && NeQ[a, 0])))

Rule 3653

Int[(((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (
f_.)*(x_)]^2))/((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Dist[1/(a^2 + b^2), Int[(c + d*Tan[e + f*
x])^n*Simp[b*B + a*(A - C) + (a*B - b*(A - C))*Tan[e + f*x], x], x], x] + Dist[(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)/(a^2 +
b^2), Int[((c + d*Tan[e + f*x])^n*(1 + Tan[e + f*x]^2))/(a + b*Tan[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
f, A, B, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] &&  !GtQ[n, 0] &&  !LeQ[n, -
1]

Rule 3538

Int[((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Dist[c, Int[(b*T
an[e + f*x])^m, x], x] + Dist[d/b, Int[(b*Tan[e + f*x])^(m + 1), x], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f, m}, x] && NeQ
[c^2 + d^2, 0] &&  !IntegerQ[2*m]

Rule 3476

Int[((b_.)*tan[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Dist[b/d, Subst[Int[x^n/(b^2 + x^2), x], x, b*Tan[c + d
*x]], x] /; FreeQ[{b, c, d, n}, x] &&  !IntegerQ[n]

Rule 364

Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a^p*(c*x)^(m + 1)*Hypergeometric2F1[-
p, (m + 1)/n, (m + 1)/n + 1, -((b*x^n)/a)])/(c*(m + 1)), x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n, p}, x] &&  !IGtQ[p, 0] &&
(ILtQ[p, 0] || GtQ[a, 0])

Rule 3634

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_) + (C_.)*
tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Dist[A/f, Subst[Int[(a + b*x)^m*(c + d*x)^n, x], x, Tan[e + f*x]], x]
/; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C, m, n}, x] && EqQ[A, C]

Rule 64

Int[((b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[(c^n*(b*x)^(m + 1)*Hypergeometric2F1[-n, m +
1, m + 2, -((d*x)/c)])/(b*(m + 1)), x] /; FreeQ[{b, c, d, m, n}, x] &&  !IntegerQ[m] && (IntegerQ[n] || (GtQ[
c, 0] &&  !(EqQ[n, -2^(-1)] && EqQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[-(d/(b*c)), 0])))

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\tan ^m(c+d x) (A+B \tan (c+d x))}{(a+b \tan (c+d x))^4} \, dx &=\frac{b (A b-a B) \tan ^{1+m}(c+d x)}{3 a \left (a^2+b^2\right ) d (a+b \tan (c+d x))^3}+\frac{\int \frac{\tan ^m(c+d x) \left (3 a^2 A+A b^2 (2-m)+a b B (1+m)-3 a (A b-a B) \tan (c+d x)+b (A b-a B) (2-m) \tan ^2(c+d x)\right )}{(a+b \tan (c+d x))^3} \, dx}{3 a \left (a^2+b^2\right )}\\ &=\frac{b (A b-a B) \tan ^{1+m}(c+d x)}{3 a \left (a^2+b^2\right ) d (a+b \tan (c+d x))^3}+\frac{b \left (A b^3 (2-m)-a^3 B (5-m)+a^2 A b (8-m)+a b^2 B (1+m)\right ) \tan ^{1+m}(c+d x)}{6 a^2 \left (a^2+b^2\right )^2 d (a+b \tan (c+d x))^2}+\frac{\int \frac{\tan ^m(c+d x) \left (-a^2 b (A b-a B) (5-m) (1+m)+\left (2 a^2+b^2 (1-m)\right ) \left (3 a^2 A+A b^2 (2-m)+a b B (1+m)\right )-6 a^2 \left (2 a A b-a^2 B+b^2 B\right ) \tan (c+d x)+b (1-m) \left (A b^3 (2-m)-a^3 B (5-m)+a^2 A b (8-m)+a b^2 B (1+m)\right ) \tan ^2(c+d x)\right )}{(a+b \tan (c+d x))^2} \, dx}{6 a^2 \left (a^2+b^2\right )^2}\\ &=\frac{b (A b-a B) \tan ^{1+m}(c+d x)}{3 a \left (a^2+b^2\right ) d (a+b \tan (c+d x))^3}+\frac{b \left (A b^3 (2-m)-a^3 B (5-m)+a^2 A b (8-m)+a b^2 B (1+m)\right ) \tan ^{1+m}(c+d x)}{6 a^2 \left (a^2+b^2\right )^2 d (a+b \tan (c+d x))^2}+\frac{b \left (a b^4 B \left (1-m^2\right )+2 a^3 b^2 B \left (7+3 m-m^2\right )+a^4 A b \left (26-9 m+m^2\right )+2 a^2 A b^3 \left (2-6 m+m^2\right )-a^5 B \left (11-6 m+m^2\right )+A b^5 \left (2-3 m+m^2\right )\right ) \tan ^{1+m}(c+d x)}{6 a^3 \left (a^2+b^2\right )^3 d (a+b \tan (c+d x))}+\frac{\int \frac{\tan ^m(c+d x) \left (6 a^6 A-a b^5 B m \left (1-m^2\right )-2 a^2 A b^4 m \left (2-6 m+m^2\right )-A b^6 m \left (2-3 m+m^2\right )-2 a^3 b^3 B \left (3+7 m+3 m^2-m^3\right )-a^4 A b^2 \left (18+26 m-9 m^2+m^3\right )+a^5 b B \left (18+11 m-6 m^2+m^3\right )-6 a^3 \left (3 a^2 A b-A b^3-a^3 B+3 a b^2 B\right ) \tan (c+d x)-b m \left (a b^4 B \left (1-m^2\right )+2 a^3 b^2 B \left (7+3 m-m^2\right )+a^4 A b \left (26-9 m+m^2\right )+2 a^2 A b^3 \left (2-6 m+m^2\right )-a^5 B \left (11-6 m+m^2\right )+A b^5 \left (2-3 m+m^2\right )\right ) \tan ^2(c+d x)\right )}{a+b \tan (c+d x)} \, dx}{6 a^3 \left (a^2+b^2\right )^3}\\ &=\frac{b (A b-a B) \tan ^{1+m}(c+d x)}{3 a \left (a^2+b^2\right ) d (a+b \tan (c+d x))^3}+\frac{b \left (A b^3 (2-m)-a^3 B (5-m)+a^2 A b (8-m)+a b^2 B (1+m)\right ) \tan ^{1+m}(c+d x)}{6 a^2 \left (a^2+b^2\right )^2 d (a+b \tan (c+d x))^2}+\frac{b \left (a b^4 B \left (1-m^2\right )+2 a^3 b^2 B \left (7+3 m-m^2\right )+a^4 A b \left (26-9 m+m^2\right )+2 a^2 A b^3 \left (2-6 m+m^2\right )-a^5 B \left (11-6 m+m^2\right )+A b^5 \left (2-3 m+m^2\right )\right ) \tan ^{1+m}(c+d x)}{6 a^3 \left (a^2+b^2\right )^3 d (a+b \tan (c+d x))}+\frac{\int \tan ^m(c+d x) \left (6 a^3 \left (a^4 A-6 a^2 A b^2+A b^4+4 a^3 b B-4 a b^3 B\right )-6 a^3 \left (4 a^3 A b-4 a A b^3-a^4 B+6 a^2 b^2 B-b^4 B\right ) \tan (c+d x)\right ) \, dx}{6 a^3 \left (a^2+b^2\right )^4}-\frac{\left (b \left (a b^6 B m \left (1-m^2\right )+3 a^2 A b^5 m \left (2-5 m+m^2\right )+A b^7 m \left (2-3 m+m^2\right )+3 a^3 b^4 B \left (2+5 m+2 m^2-m^3\right )+a^7 B \left (6-11 m+6 m^2-m^3\right )-a^6 A b \left (24-26 m+9 m^2-m^3\right )+3 a^4 A b^3 \left (8+10 m-7 m^2+m^3\right )-3 a^5 b^2 B \left (12-m-4 m^2+m^3\right )\right )\right ) \int \frac{\tan ^m(c+d x) \left (1+\tan ^2(c+d x)\right )}{a+b \tan (c+d x)} \, dx}{6 a^3 \left (a^2+b^2\right )^4}\\ &=\frac{b (A b-a B) \tan ^{1+m}(c+d x)}{3 a \left (a^2+b^2\right ) d (a+b \tan (c+d x))^3}+\frac{b \left (A b^3 (2-m)-a^3 B (5-m)+a^2 A b (8-m)+a b^2 B (1+m)\right ) \tan ^{1+m}(c+d x)}{6 a^2 \left (a^2+b^2\right )^2 d (a+b \tan (c+d x))^2}+\frac{b \left (a b^4 B \left (1-m^2\right )+2 a^3 b^2 B \left (7+3 m-m^2\right )+a^4 A b \left (26-9 m+m^2\right )+2 a^2 A b^3 \left (2-6 m+m^2\right )-a^5 B \left (11-6 m+m^2\right )+A b^5 \left (2-3 m+m^2\right )\right ) \tan ^{1+m}(c+d x)}{6 a^3 \left (a^2+b^2\right )^3 d (a+b \tan (c+d x))}+\frac{\left (a^4 A-6 a^2 A b^2+A b^4+4 a^3 b B-4 a b^3 B\right ) \int \tan ^m(c+d x) \, dx}{\left (a^2+b^2\right )^4}-\frac{\left (4 a^3 A b-4 a A b^3-a^4 B+6 a^2 b^2 B-b^4 B\right ) \int \tan ^{1+m}(c+d x) \, dx}{\left (a^2+b^2\right )^4}-\frac{\left (b \left (a b^6 B m \left (1-m^2\right )+3 a^2 A b^5 m \left (2-5 m+m^2\right )+A b^7 m \left (2-3 m+m^2\right )+3 a^3 b^4 B \left (2+5 m+2 m^2-m^3\right )+a^7 B \left (6-11 m+6 m^2-m^3\right )-a^6 A b \left (24-26 m+9 m^2-m^3\right )+3 a^4 A b^3 \left (8+10 m-7 m^2+m^3\right )-3 a^5 b^2 B \left (12-m-4 m^2+m^3\right )\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{x^m}{a+b x} \, dx,x,\tan (c+d x)\right )}{6 a^3 \left (a^2+b^2\right )^4 d}\\ &=-\frac{b \left (a b^6 B m \left (1-m^2\right )+3 a^2 A b^5 m \left (2-5 m+m^2\right )+A b^7 m \left (2-3 m+m^2\right )+3 a^3 b^4 B \left (2+5 m+2 m^2-m^3\right )+a^7 B \left (6-11 m+6 m^2-m^3\right )-a^6 A b \left (24-26 m+9 m^2-m^3\right )+3 a^4 A b^3 \left (8+10 m-7 m^2+m^3\right )-3 a^5 b^2 B \left (12-m-4 m^2+m^3\right )\right ) \, _2F_1\left (1,1+m;2+m;-\frac{b \tan (c+d x)}{a}\right ) \tan ^{1+m}(c+d x)}{6 a^4 \left (a^2+b^2\right )^4 d (1+m)}+\frac{b (A b-a B) \tan ^{1+m}(c+d x)}{3 a \left (a^2+b^2\right ) d (a+b \tan (c+d x))^3}+\frac{b \left (A b^3 (2-m)-a^3 B (5-m)+a^2 A b (8-m)+a b^2 B (1+m)\right ) \tan ^{1+m}(c+d x)}{6 a^2 \left (a^2+b^2\right )^2 d (a+b \tan (c+d x))^2}+\frac{b \left (a b^4 B \left (1-m^2\right )+2 a^3 b^2 B \left (7+3 m-m^2\right )+a^4 A b \left (26-9 m+m^2\right )+2 a^2 A b^3 \left (2-6 m+m^2\right )-a^5 B \left (11-6 m+m^2\right )+A b^5 \left (2-3 m+m^2\right )\right ) \tan ^{1+m}(c+d x)}{6 a^3 \left (a^2+b^2\right )^3 d (a+b \tan (c+d x))}+\frac{\left (a^4 A-6 a^2 A b^2+A b^4+4 a^3 b B-4 a b^3 B\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{x^m}{1+x^2} \, dx,x,\tan (c+d x)\right )}{\left (a^2+b^2\right )^4 d}-\frac{\left (4 a^3 A b-4 a A b^3-a^4 B+6 a^2 b^2 B-b^4 B\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{x^{1+m}}{1+x^2} \, dx,x,\tan (c+d x)\right )}{\left (a^2+b^2\right )^4 d}\\ &=\frac{\left (a^4 A-6 a^2 A b^2+A b^4+4 a^3 b B-4 a b^3 B\right ) \, _2F_1\left (1,\frac{1+m}{2};\frac{3+m}{2};-\tan ^2(c+d x)\right ) \tan ^{1+m}(c+d x)}{\left (a^2+b^2\right )^4 d (1+m)}-\frac{b \left (a b^6 B m \left (1-m^2\right )+3 a^2 A b^5 m \left (2-5 m+m^2\right )+A b^7 m \left (2-3 m+m^2\right )+3 a^3 b^4 B \left (2+5 m+2 m^2-m^3\right )+a^7 B \left (6-11 m+6 m^2-m^3\right )-a^6 A b \left (24-26 m+9 m^2-m^3\right )+3 a^4 A b^3 \left (8+10 m-7 m^2+m^3\right )-3 a^5 b^2 B \left (12-m-4 m^2+m^3\right )\right ) \, _2F_1\left (1,1+m;2+m;-\frac{b \tan (c+d x)}{a}\right ) \tan ^{1+m}(c+d x)}{6 a^4 \left (a^2+b^2\right )^4 d (1+m)}-\frac{\left (4 a^3 A b-4 a A b^3-a^4 B+6 a^2 b^2 B-b^4 B\right ) \, _2F_1\left (1,\frac{2+m}{2};\frac{4+m}{2};-\tan ^2(c+d x)\right ) \tan ^{2+m}(c+d x)}{\left (a^2+b^2\right )^4 d (2+m)}+\frac{b (A b-a B) \tan ^{1+m}(c+d x)}{3 a \left (a^2+b^2\right ) d (a+b \tan (c+d x))^3}+\frac{b \left (A b^3 (2-m)-a^3 B (5-m)+a^2 A b (8-m)+a b^2 B (1+m)\right ) \tan ^{1+m}(c+d x)}{6 a^2 \left (a^2+b^2\right )^2 d (a+b \tan (c+d x))^2}+\frac{b \left (a b^4 B \left (1-m^2\right )+2 a^3 b^2 B \left (7+3 m-m^2\right )+a^4 A b \left (26-9 m+m^2\right )+2 a^2 A b^3 \left (2-6 m+m^2\right )-a^5 B \left (11-6 m+m^2\right )+A b^5 \left (2-3 m+m^2\right )\right ) \tan ^{1+m}(c+d x)}{6 a^3 \left (a^2+b^2\right )^3 d (a+b \tan (c+d x))}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 6.2787, size = 1901, normalized size = 2.88 \[ \text{result too large to display} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(Tan[c + d*x]^m*(A + B*Tan[c + d*x]))/(a + b*Tan[c + d*x])^4,x]

[Out]

(b*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(3*a*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^3) + (((-(a*(-3*a*b*(A*b - a*B) -
a*b*(A*b - a*B)*(2 - m))) + b^2*(3*a^2*A + A*b^2*(2 - m) + a*b*B*(1 + m)))*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(2*a*(a^2 +
b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) + (((b^2*(-(a^2*b*(A*b - a*B)*(5 - m)*(1 + m)) + (2*a^2 + b^2*(1 - m))*(3*a^2*A
+ A*b^2*(2 - m) + a*b*B*(1 + m))) - a*(-6*a^2*b*(2*a*A*b - a^2*B + b^2*B) - a*b*(1 - m)*(A*b^3*(2 - m) - a^3*
B*(5 - m) + a^2*A*b*(8 - m) + a*b^2*B*(1 + m))))*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(a*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x]))
+ (((a^2*b*(6*a^3*(2*a*A*b - a^2*B + b^2*B) - b^2*(1 - m)*(A*b^3*(2 - m) - a^3*B*(5 - m) + a^2*A*b*(8 - m) + a
*b^2*B*(1 + m)) + b*(-(a^2*b*(A*b - a*B)*(5 - m)*(1 + m)) + (2*a^2 + b^2*(1 - m))*(3*a^2*A + A*b^2*(2 - m) + a
*b*B*(1 + m)))) - a^2*m*(b^2*(-(a^2*b*(A*b - a*B)*(5 - m)*(1 + m)) + (2*a^2 + b^2*(1 - m))*(3*a^2*A + A*b^2*(2
- m) + a*b*B*(1 + m))) - a*(-6*a^2*b*(2*a*A*b - a^2*B + b^2*B) - a*b*(1 - m)*(A*b^3*(2 - m) - a^3*B*(5 - m) +
a^2*A*b*(8 - m) + a*b^2*B*(1 + m)))) + b^2*((a^2 - b^2*m)*(-(a^2*b*(A*b - a*B)*(5 - m)*(1 + m)) + (2*a^2 + b^
2*(1 - m))*(3*a^2*A + A*b^2*(2 - m) + a*b*B*(1 + m))) + a*(1 + m)*(-6*a^2*b*(2*a*A*b - a^2*B + b^2*B) - a*b*(1
- m)*(A*b^3*(2 - m) - a^3*B*(5 - m) + a^2*A*b*(8 - m) + a*b^2*B*(1 + m)))))*Hypergeometric2F1[1, 1 + m, 2 + m
, -((b*Tan[c + d*x])/a)]*Tan[c + d*x]^(1 + m))/(a*(a^2 + b^2)*d*(1 + m)) + (((-(a*b*(6*a^3*(2*a*A*b - a^2*B +
b^2*B) - b^2*(1 - m)*(A*b^3*(2 - m) - a^3*B*(5 - m) + a^2*A*b*(8 - m) + a*b^2*B*(1 + m)) + b*(-(a^2*b*(A*b - a
*B)*(5 - m)*(1 + m)) + (2*a^2 + b^2*(1 - m))*(3*a^2*A + A*b^2*(2 - m) + a*b*B*(1 + m))))) + a*((a^2 - b^2*m)*(
-(a^2*b*(A*b - a*B)*(5 - m)*(1 + m)) + (2*a^2 + b^2*(1 - m))*(3*a^2*A + A*b^2*(2 - m) + a*b*B*(1 + m))) + a*(1
+ m)*(-6*a^2*b*(2*a*A*b - a^2*B + b^2*B) - a*b*(1 - m)*(A*b^3*(2 - m) - a^3*B*(5 - m) + a^2*A*b*(8 - m) + a*b
^2*B*(1 + m))) + m*(b^2*(-(a^2*b*(A*b - a*B)*(5 - m)*(1 + m)) + (2*a^2 + b^2*(1 - m))*(3*a^2*A + A*b^2*(2 - m)
+ a*b*B*(1 + m))) - a*(-6*a^2*b*(2*a*A*b - a^2*B + b^2*B) - a*b*(1 - m)*(A*b^3*(2 - m) - a^3*B*(5 - m) + a^2*
A*b*(8 - m) + a*b^2*B*(1 + m))))))*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/2, 1 + (1 + m)/2, -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x
]^(1 + m))/(d*(1 + m)) + ((-(a^2*(6*a^3*(2*a*A*b - a^2*B + b^2*B) - b^2*(1 - m)*(A*b^3*(2 - m) - a^3*B*(5 - m)
+ a^2*A*b*(8 - m) + a*b^2*B*(1 + m)) + b*(-(a^2*b*(A*b - a*B)*(5 - m)*(1 + m)) + (2*a^2 + b^2*(1 - m))*(3*a^2
*A + A*b^2*(2 - m) + a*b*B*(1 + m))))) - b*((a^2 - b^2*m)*(-(a^2*b*(A*b - a*B)*(5 - m)*(1 + m)) + (2*a^2 + b^2
*(1 - m))*(3*a^2*A + A*b^2*(2 - m) + a*b*B*(1 + m))) + a*(1 + m)*(-6*a^2*b*(2*a*A*b - a^2*B + b^2*B) - a*b*(1
- m)*(A*b^3*(2 - m) - a^3*B*(5 - m) + a^2*A*b*(8 - m) + a*b^2*B*(1 + m))) + m*(b^2*(-(a^2*b*(A*b - a*B)*(5 - m
)*(1 + m)) + (2*a^2 + b^2*(1 - m))*(3*a^2*A + A*b^2*(2 - m) + a*b*B*(1 + m))) - a*(-6*a^2*b*(2*a*A*b - a^2*B +
b^2*B) - a*b*(1 - m)*(A*b^3*(2 - m) - a^3*B*(5 - m) + a^2*A*b*(8 - m) + a*b^2*B*(1 + m))))))*Hypergeometric2F
1[1, (2 + m)/2, 1 + (2 + m)/2, -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x]^(2 + m))/(d*(2 + m)))/(a^2 + b^2))/(a*(a^2 + b^2)
))/(2*a*(a^2 + b^2)))/(3*a*(a^2 + b^2))

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.633, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\frac{ \left ( \tan \left ( dx+c \right ) \right ) ^{m} \left ( A+B\tan \left ( dx+c \right ) \right ) }{ \left ( a+b\tan \left ( dx+c \right ) \right ) ^{4}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(tan(d*x+c)^m*(A+B*tan(d*x+c))/(a+b*tan(d*x+c))^4,x)

[Out]

int(tan(d*x+c)^m*(A+B*tan(d*x+c))/(a+b*tan(d*x+c))^4,x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{{\left (B \tan \left (d x + c\right ) + A\right )} \tan \left (d x + c\right )^{m}}{{\left (b \tan \left (d x + c\right ) + a\right )}^{4}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tan(d*x+c)^m*(A+B*tan(d*x+c))/(a+b*tan(d*x+c))^4,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((B*tan(d*x + c) + A)*tan(d*x + c)^m/(b*tan(d*x + c) + a)^4, x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (\frac{{\left (B \tan \left (d x + c\right ) + A\right )} \tan \left (d x + c\right )^{m}}{b^{4} \tan \left (d x + c\right )^{4} + 4 \, a b^{3} \tan \left (d x + c\right )^{3} + 6 \, a^{2} b^{2} \tan \left (d x + c\right )^{2} + 4 \, a^{3} b \tan \left (d x + c\right ) + a^{4}}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tan(d*x+c)^m*(A+B*tan(d*x+c))/(a+b*tan(d*x+c))^4,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((B*tan(d*x + c) + A)*tan(d*x + c)^m/(b^4*tan(d*x + c)^4 + 4*a*b^3*tan(d*x + c)^3 + 6*a^2*b^2*tan(d*x
+ c)^2 + 4*a^3*b*tan(d*x + c) + a^4), x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tan(d*x+c)**m*(A+B*tan(d*x+c))/(a+b*tan(d*x+c))**4,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{{\left (B \tan \left (d x + c\right ) + A\right )} \tan \left (d x + c\right )^{m}}{{\left (b \tan \left (d x + c\right ) + a\right )}^{4}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tan(d*x+c)^m*(A+B*tan(d*x+c))/(a+b*tan(d*x+c))^4,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((B*tan(d*x + c) + A)*tan(d*x + c)^m/(b*tan(d*x + c) + a)^4, x)